Фрактали

Можете ли да објасните со еден збор каква форма има брокулата? Или еленските рогови? Да, постои збор кој ги опфаќа ваквите форми. Тоа е зборот фрактал.

Фракталот е геометриска форма која може да се расчлени на помали делови, така да секој од тие делови претставува, барем приближно, “намалена копија на целината”. Дополнително, може да се каже дека таквата форма е слична сама на себе. Терминот фрактал прв го употребил Беноа Манделброт во 1975 година, а потекнува од латинскиот збор fractus со значење “скршен”.

Според Фалконер, наместо стрикно дефинирани, попрецизно би било генерално да се карактеризираат како форми со фрактални димензии одн. карактеристики:

  • Сличен е сам на себе, што може да се манифестира како: потполна самосличност, квази или делумна самосличност, статистичка самосличност, квалитативна (како кај временските серии) и мултифрактално скалирање (се карактеризира со повеќе од една фрактална димензија или правило на зголемување);
  • Фина и подробна структура на арбитрарно мало зголемување. Како последица на таквата структура фракталите може да имаат својства кои одскокнуваат (поврзано со следниот критериум во листата);
  • Ирегуларност локално и глобално, која не може лесно да се опише со традиционалниот Еуклидски геометриски јазик. За слики од фрактални примероци ова се изразува со фразите како “непрекинато натрупување површини” и “вртлог над вртлог”;
  • Хауздорфова димензија која е поголема од неговата тополошка димензија (иако овој услов не го исполнуваат бесконечно густите криви, како што е Хилбертовата крива);
  • Едноставна и рекурзивна дефиниција.

Со оглед на тоа што изгледаат слично на сите нивоа на зголемување, фракталите често се сметаат за бесконечно комплексни, во неформална смисла на зборот. Природни облици кои ги апроксимираат фракталите до извесни граници би биле: облаците, планинските венци, молњите, морските брегови, снегулките, мрежите на речните текови, кратерите, роговите на планинските кози, шарите на животинските принтови, повеќе видови зеленчук (брокула, карфиол…), срцевите отчукувања, земјотресите, кристалите, океанските бранови, белодробните и крвните садови, DNA, порите на почвата, саќето, Психолошки субјективната перцепција и многу, многу други. Но не сите објекти кои се слични сами на себе се истовремено и фрактали. Еден таков пример е реална права, која формално е слична сама на себе, но не ги поседува останатите особини на фрактал.

Примената на фракталите е далекусежна. Конекцијата меѓу фракталите и лисјата на пример, моментално се користи за да се утврди колкаво количество на јаглерод има во дрвјата. Фракталите се среќаваат и во уметноста, креативната работа, се аплицираат и во технологијата, законодавството и многу други области.

Фракталите често се појавуваат како атрактори на динамичките системи, дури и во ситуации кои се чинат прилично едноставни (на пр. Жулиевиот збир). Во компјутерската графика, фракталите се користат за генерирање слика која претставува природни објекти (облаци, снег, планински венци, куп отпад…).

Според основната поделба се разликуваат геометриски, алгебарски и стохастични фрактали. Геометриските фрактали биле првите фрактали кои ги изучувале математичарите во XIX век, благодарение на нивната очигледност, односно затоа што кај нив веднаш се забележува особината на самосличност.

Според нивното настанување пак, ги делиме на природни и вештачки, каде под вештачки фрактали се подразбираат оние до кои дошле научниците, а кои при произволно зголемување ги задржуваат особините на фрактал. Кај природните фрактали се јавува ограниченост на областа на егзистенција, одн. постои максимална и минимална големина на размер на објектот, за која тој поседува фрактални особини.

Според една друга поделба, фракталите може да бидат детерминирани и недетерминирани.

Во однос на степенот на самосличност може да се јават: потполно самослични (највисок степен на самосличност), скоро самослични (помалку строг облик на самосличност) и статистички самослични (најниско ниво на самосличност). Во првиот случај, фракталот е идентичен сам на себе на секое ниво на зголемување. Вакви особини имаат фракталите кои се добиваат со помош на итеративните функции. Скоро самосличниот фрактал делува приближно ( но не и потполно) идентичен сам на себе на различни нивоа на зголемување. Кај ваквите фрактали, велиме дека намалените копии на целиот фрактал се во изобличени и дегенерирани облици. Тоа се обично фракталите кои се добиваат со помош на рекурентни врски. Статистички самосличниот фрактал пак поседува нумерички или статистички мерки, кои се чуваат во текот на зголемувањето или намалувањето.

Наједноставните дефиниции за фрактали тривијално укажуваат на некоја врста на статистичка самосличност (фракталната димензија е сама по себе нумеричка големина која се менува со зголемување, односно намалување.) Овде спаѓаат фракталите генерирани со стохастички процеси.

Видео проекцијата за денес прикажува ерозија на дрво во облик на фрактали при висок напон.

  Фрактали околу нас

Проф. Алберт Пи

Професорот Алберт Пи е најнискиот професор во училиштето. Тој е единствениот човек кој се родил како старец, а не како бебе. Како што минуваат годините, наместо да старее, тој се подмладувал.

Има ли нешто нејасно?