Факториел

n

n!

0

1

1

1

2

2

3

6

4

24

5

120

6

720

7

5040

8

40320

9

362880

10

3628800

15

1307674368000

20

2432902008176640000

25

15511210043330985984000000

50

3,04140932… · 1064

70

1,19785717… · 10100

450

1,73336873… · 101 000

3249

6,41233768… · 1010 000

25206

1,205703438… · 10100 000

Ви значат ли нешто овие бројки? Иако навидум немаат никаква поврзаност, приказната за нив е многу интересна. Станува збор за факториели. Табелата е всушност пример за факториели на првите неколку броеви и на некои поголеми броеви.

Во математиката, факториел на позитивен цел број n (се означува со n!) претставува производ на сите природни броеви помали и еднакви на n. На пример:

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

Факториел операцијата се среќава во многу области од математиката, главно во комбинаторика, алгебра и математичка анализа. Неговата најосновна појава се состои во фактот дека постојат n! начини за уредување на n различни објекти во една секвенца (на пр. пермутации на сет од објекти). Овој факт им бил познат на Индиските научници уште во XII век. Ознаката n! прв ја вовел Кристијан Крамп, во 1808 година.

Дефиницијата за функцијата факториел може исто така да биде проширена и на децимални броеви и константи, задржувајќи ги притоа своите најважни карактеристики. Тука станува збор за понапредна математика, воглавно техники од математичката анализа.

Факториел формално се дефинира на следниов начин:

1

Горната дефиниција претпоставува дека:

0! = 1

Оваа дефиниција е точна, бидејќи рекурзивната дефиниција за факториел гласи:

2

за што е неопходно факториел од бројот 0 да биде 1. Вредноста на 0! е 1, согласно и со конвенцијата за празен производ. Може да изгледа невообичаено и смешно, тоа што мултиплицирањето на неброј не води до 1, но ова помага да се поедностават многу прашања.

Дефиницијата може да се интерпретира и на следниот начин – факториелот на некој број е производ од тој број и факториелот на бројот за еден помал од истиот. Што пак значи дека, на пример, ако ни е познато колку изнесува 9! тогаш лесно може да се пресмета 10! како производ од 9! X 10.

Факториелот е многу значаен во комбинаториката. На пример, постојат вкупно n! различни начини да се распоредат n различни објекти (овие различни начини на распоред се нарекуваат пермутација). Бројот на начини на кои можат да се извлечат k објекти од вкупно n објекти (број на комбинации) е даден со таканаречениот биномен коефициент:

3

Факториелот многу често се користи и кај теоријата на броеви. Конкретно, n! е секогаш делив со сите прости броеви до и вклучително со n. Последично, n > 5 е композитен број ако и само ако

4

Уште повеќе, ја имаме Вилсоновата теорема која тврди дека

5

ако и само ако p е прост број.

Единствениот факториел број кој истовремено е и прост број е бројот 2, но има многу прости броеви во облик  6

Двојниот факториел n!! не е исто што и (n!)!

7

8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384

9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945

Како што n расте, факториел n! станува поголем од сите полиноминални и експоненцијални функции од n.

Кога n е многу голем број, n! се проценува со голема прецизност користејќи ја Стирлинговата апроксимација:

8

Логоритам од факториел може да се искористи за да се пресмета колку цифри ќе има факториел на зададен број во даден броен систем. log(n!) може лесно да се пресмета на следниов начин:

9

Притоа треба да се обрати внимание на тоа дека кога ќе се нацрта график на оваа функција, таа изгледа приближно линеарна за мали вредности. Но факторот 10  расте до прилично високи вредности, иако многу споро.

Вредноста n! може да се пресмета со множење на сите природни броеви до и вклучително со n, ако n не е голем број. Најголемиот број за кој повеќето калкулатори можат да ја пресметаат вредноста е 69!, бидејќи 70! > 10^100. По тој редослед, 11! и 20! се најголемите броеви чиј факториел може да се појави во стандардни целобројни променливи кај триесетдвобитните и шеесетчетворобитните сметачи. Во пракса, најголемиот број програми ги пресметуваат овие мали броеви со дирекно множење или вадење резултати од табели, додека факториели на поголеми броеви вообичаено се пресметуваат со апроксимација, користејќи ја Стирлинговата формула.

Во теоријата на броеви и комбинаториката често се потребни точните вредности на факториелите на големи броеви. Тие може да се пресметаат со дирекно множење, но множењето одоздола нагоре (1 x 2 x … x n) е неефикасно. Во таков случај подобро е со рекурзија да се поделат секвенци, така да величината на секој потпроизвод биде помала.

 70! изнесува приближно 1.1978571669969891796072783721 x 10100, што пак ни дава број поголем и од гугол (бројот 1 проследен со сто нули).

100! изнесува приближно 9.3326215443944152681699238856 x 10157

Проф. Алберт Пи

Професорот Алберт Пи е најнискиот професор во училиштето. Тој е единствениот човек кој се родил како старец, а не како бебе. Како што минуваат годините, наместо да старее, тој се подмладувал.